梯度与方向导数：在3D空间里看懂

为什么需要3D思维？z = f(x,y) 是一张立体的山丘，2D视图只能看到等高线的投影

偏导数是沿坐标轴方向的坡度，梯度是最速上升的方向向量，
而梯度垂直于等高线这一核心几何性质，只有在3D视角下才能真正看清。

选择函数

显示选项

等高线投影

梯度向量（红色箭头）

切平面（半透明）

方向导数演示

方向控制

方向角度 θ 0°

当前选中点

P(1.00, 1.00)

函数值 f(x,y) 2.000

∂f/∂x 2.000

∂f/∂y 2.000

梯度 ∇f (2.00, 2.00)

方向导数 D_uf 2.83

💡 操作方法：
• 拖动滑块改变探索方向
• 在3D区域点击拖动可移动选点
• 滚轮缩放，左键旋转视角
• 观察红色梯度向量与白色等高线的垂直关系

核心概念

∂

偏导数

沿坐标轴方向"切一刀"看斜率。 $\partialf/\partialx$ 是保持 y 不变、沿 x 轴方向的坡度； $\partialf/\partialy$ 是保持 x 不变、沿 y 轴方向的坡度。

∇

梯度

$\nablaf = (\partialf/\partialx, \partialf/\partialy)$ 是一个指向最速上升方向的向量。梯度的大小表示该方向坡度的陡峭程度。

方向导数

单位方向向量 $u$ 与梯度的点积： $D u f = \nablaf \cdot u$ 。决定任意方向的坡度——正值上坡，负值下坡。

两个只有3D才能看清的关键

梯度⊥等高线：梯度向量始终垂直于等高线（水平集）切线方向，指向函数值增大的方向
方向导数=投影：沿 u 方向导数等于梯度在 u 方向上的投影分量

数学定义

偏导数定义

∂f/∂x = lim_h→0 [f(x+h,y) - f(x,y)] / h

沿 x 轴方向的瞬时变化率

梯度向量

∇f(x,y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)

指向最速上升方向的向量

方向导数公式

D_uf = ∇f · u = |∇f| cos θ

梯度在单位向量 u 方向的投影

具体推导：碗状曲面 f(x,y) = x² + y²

考虑函数 $f(x,y) = x² + y²$ ，这是一个开口向上的旋转抛物面，形状像一个碗。

计算偏导数

∂f/∂x = 2x
∂f/∂y = 2y

在点 (1,1) 处

∂f/∂x = 2
∂f/∂y = 2
∇f(1,1) = (2, 2)

方向导数（沿 u = (1/√2, 1/√2)）

D_uf = (2,2) · (1/√2, 1/√2)
= 4/√2 = 2√2 ≈ 2.83

几何验证：在碗状曲面 f(x,y) = x² + y² 上，点 (1,1) 处的等高线是一个圆 x² + y² = 2。
观察 3D 视图可以看到：梯度向量 (2,2) 从 (1,1) 点向外辐射，正好垂直于圆形等高线的切线方向，指向函数值增大的方向（上坡）。

互动探索

在点 (1,1) 处，梯度指向哪里？
用手势旋转视角，观察红色梯度向量与等高线的垂直关系。

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沿着等高线走，方向导数是多少？
调整方向滑块，使方向与等高线相切。

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找到梯度为0的点（碗底），那里有什么特征？
观察该点附近曲面的形状。

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